现代机器人的一个核心部件就是就是关节电机，在关节电机中会用到减速器，行星减速器就是最常见的一种。

本文针对行星减速器的一种情况进行讲解：行星架固定，太阳轮作为输入，行星架作为输出。

基础概念

名称描述符号
齿数（Number of teeth）齿轮齿的数量Z
模数（Module）决定齿大小的因数M
直径齿轮分度圆直径D

上述关系可以表示为：\( D = M \times Z \)

这个公式在设计行星减速器时非常重要请牢记

要是两个齿轮啮合，它们必须拥有相同的模数（Module）：

$$ M_1 = M_2 \\ \therefore \frac{D_1}{Z_1} = \frac{D_2}{Z_2} \\ \therefore \frac{Z_2}{Z_1} = \frac{D_2}{D_1} = \frac{2R_2}{2R_1} = \frac{R_2}{R_1} $$

行星减速器组件

名称符号
太阳轮（Sun）S
行星轮（Planet）P
齿圈（Ring）R
行星架（Carrier）C

半径关系

$$ r_R = r_S + 2 r_P \\ 2 r_P = r_R - r_S $$

速度关系

\( v = \omega \times r \)

即：线速度等于角速度乘半径

当两个齿轮啮合旋转时，线速度相等，即：\( v1 = v2 \)，可得：

$$ \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2 $$

齿轮传动比：\( i = \frac{\omega_1}{\omega_2} \)

$$ i = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{Z_2}{Z_1} $$

行星减速传动比

行星架固定，太阳轮作为输入，行星架作为输出

在一个简单的齿轮系统中，假设两个齿轮之间没有相对滑动，外圈的瞬时速度是圆心瞬时速度的2倍，因为滚动被视为围绕点的瞬时旋转，轮子接触地面的点与最高点的距离是轮子接触地面的点与圆心距离的2倍，线速度也是2倍关系。

$$ v_S = 2 v_C $$

行星齿轮传动比：

$$ i = \frac{太阳轮角速度}{行星架角速度} = \frac{\omega_S}{\omega_C} $$$$ v_C = w_C \times (r_S + r_P) \\ v_S = w_S \times r_S $$

这里\( r_S + r_P \) 是行星齿轮圆心到太阳轮圆心的距，固定行星轮的行星架轴与行星轮是同心圆，所以\( r_S + r_P \)是行星架做圆运动时的半径

太阳轮与行星轮啮合，所以：

$$ v_S = 2 v_C = 2\omega_C(r_S + r_P) \\ \omega_S r_S = 2 \omega_C(r_S + r_P) $$
$$ i = \frac{w_S}{w_C} = \frac{2(r_S + r_P)}{r_S} = \frac{2r_S + 2r_P}{r_S} \\ = \frac{2r_S + r_R - r_S}{r_S} \\ = \frac{r_S + r_R}{r_S} \\ = 1 + \frac{r_R}{r_S} = 1 + \frac{Z_R}{Z_S} $$

  • 上述：\( 2r_P = r_R - rS \)， 因为\( 2r_P \)是行星轮直径，更具半径关系可计算出

  • \( \frac{r_R}{r_S} = \frac{Z_R}{Z_S} \)，根据啮合齿轮的模数关系转换得到（参考基础概念部分）